3.22 \(\int \csc ^5(2 a+2 b x) \sin ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=60 \[ \frac {\tan ^4(a+b x)}{128 b}+\frac {3 \tan ^2(a+b x)}{64 b}-\frac {\cot ^2(a+b x)}{64 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{32 b} \]

[Out]

-1/64*cot(b*x+a)^2/b+3/32*ln(tan(b*x+a))/b+3/64*tan(b*x+a)^2/b+1/128*tan(b*x+a)^4/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07, antiderivative size = 60, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 20, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.200, Rules used = {4288, 2620, 266, 43} \[ \frac {\tan ^4(a+b x)}{128 b}+\frac {3 \tan ^2(a+b x)}{64 b}-\frac {\cot ^2(a+b x)}{64 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{32 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csc[2*a + 2*b*x]^5*Sin[a + b*x]^2,x]

[Out]

-Cot[a + b*x]^2/(64*b) + (3*Log[Tan[a + b*x]])/(32*b) + (3*Tan[a + b*x]^2)/(64*b) + Tan[a + b*x]^4/(128*b)

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 266

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 2620

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/f, Subst[Int[(1 + x^2)^((
m + n)/2 - 1)/x^m, x], x, Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{e, f}, x] && IntegersQ[m, n, (m + n)/2]

Rule 4288

Int[((f_.)*sin[(a_.) + (b_.)*(x_)])^(n_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Dist[2^p/f^p, Int[Cos[a
+ b*x]^p*(f*Sin[a + b*x])^(n + p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, f, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
&& IntegerQ[p]

Rubi steps

\begin {align*} \int \csc ^5(2 a+2 b x) \sin ^2(a+b x) \, dx &=\frac {1}{32} \int \csc ^3(a+b x) \sec ^5(a+b x) \, dx\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (1+x^2\right )^3}{x^3} \, dx,x,\tan (a+b x)\right )}{32 b}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {(1+x)^3}{x^2} \, dx,x,\tan ^2(a+b x)\right )}{64 b}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left (3+\frac {1}{x^2}+\frac {3}{x}+x\right ) \, dx,x,\tan ^2(a+b x)\right )}{64 b}\\ &=-\frac {\cot ^2(a+b x)}{64 b}+\frac {3 \log (\tan (a+b x))}{32 b}+\frac {3 \tan ^2(a+b x)}{64 b}+\frac {\tan ^4(a+b x)}{128 b}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.25, size = 56, normalized size = 0.93 \[ -\frac {2 \csc ^2(a+b x)-\sec ^4(a+b x)-4 \sec ^2(a+b x)-12 \log (\sin (a+b x))+12 \log (\cos (a+b x))}{128 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csc[2*a + 2*b*x]^5*Sin[a + b*x]^2,x]

[Out]

-1/128*(2*Csc[a + b*x]^2 + 12*Log[Cos[a + b*x]] - 12*Log[Sin[a + b*x]] - 4*Sec[a + b*x]^2 - Sec[a + b*x]^4)/b

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.43, size = 112, normalized size = 1.87 \[ \frac {6 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} - 3 \, \cos \left (b x + a\right )^{2} - 6 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{6} - \cos \left (b x + a\right )^{4}\right )} \log \left (\cos \left (b x + a\right )^{2}\right ) + 6 \, {\left (\cos \left (b x + a\right )^{6} - \cos \left (b x + a\right )^{4}\right )} \log \left (-\frac {1}{4} \, \cos \left (b x + a\right )^{2} + \frac {1}{4}\right ) - 1}{128 \, {\left (b \cos \left (b x + a\right )^{6} - b \cos \left (b x + a\right )^{4}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^5*sin(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/128*(6*cos(b*x + a)^4 - 3*cos(b*x + a)^2 - 6*(cos(b*x + a)^6 - cos(b*x + a)^4)*log(cos(b*x + a)^2) + 6*(cos(
b*x + a)^6 - cos(b*x + a)^4)*log(-1/4*cos(b*x + a)^2 + 1/4) - 1)/(b*cos(b*x + a)^6 - b*cos(b*x + a)^4)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 2.35, size = 2657, normalized size = 44.28 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^5*sin(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2048*(32*(9*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^24 - 540*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^22 + 96*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2
*a)^23 + tan(1/2*a)^24 + 12690*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^20 - 5072*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^21 + 264*tan(1/
2*a)^22 - 145836*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^18 + 94416*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^19 - 11766*tan(1/2*a)^20 + 8
33895*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^16 - 775584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^17 + 152744*tan(1/2*a)^18 - 2212920*ta
n(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^14 + 2952832*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^15 - 825777*tan(1/2*a)^16 + 3025404*tan(b*x +
4*a)^2*tan(1/2*a)^12 - 5609184*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^13 + 2205264*tan(1/2*a)^14 - 2212920*tan(b*x + 4*a)^
2*tan(1/2*a)^10 + 5609184*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^11 - 3045556*tan(1/2*a)^12 + 833895*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1
/2*a)^8 - 2952832*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^9 + 2205264*tan(1/2*a)^10 - 145836*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^6 +
775584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^7 - 825777*tan(1/2*a)^8 + 12690*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^4 - 94416*tan(b*
x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 + 152744*tan(1/2*a)^6 - 540*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^2 + 5072*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*
a)^3 - 11766*tan(1/2*a)^4 + 9*tan(b*x + 4*a)^2 - 96*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) + 264*tan(1/2*a)^2 + 1)/((tan(1/
2*a)^12 - 30*tan(1/2*a)^10 + 255*tan(1/2*a)^8 - 452*tan(1/2*a)^6 + 255*tan(1/2*a)^4 - 30*tan(1/2*a)^2 + 1)*(ta
n(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^6 - 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(1/2*a)^5 + 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^2 -
20*tan(1/2*a)^3 - tan(b*x + 4*a) + 6*tan(1/2*a))^2) - (864*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^45 - 216*tan(b*x + 4*a
)^2*tan(1/2*a)^46 + 24*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^47 - tan(1/2*a)^48 + 50976*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^43 - 1
8000*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^44 + 2584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^45 - 96*tan(1/2*a)^46 + 41990400*tan(b*x
+ 4*a)^4*tan(1/2*a)^40 - 29618496*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^41 + 8128920*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^42 - 10
00584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^43 + 46860*tan(1/2*a)^44 - 1119744000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^38 + 1086111
040*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^39 - 365239008*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^40 + 52636536*tan(b*x + 4*a)*tan(1/
2*a)^41 - 2775328*tan(1/2*a)^42 + 13399603200*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^36 - 16982062752*tan(b*x + 4*a)^3*ta
n(1/2*a)^37 + 7267900536*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^38 - 1271292760*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^39 + 78743742*t
an(1/2*a)^40 - 94929408000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^34 + 150936080928*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^35 - 8108
8683024*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^36 + 17523815592*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^37 - 1302867360*tan(1/2*a)^38 +
442437811200*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^32 - 858638750464*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^33 + 567089250120*tan(
b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^34 - 150754238328*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^35 + 13639996380*tan(1/2*a)^36 - 142665062
4000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^30 + 3319597849344*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^31 - 2647648010880*tan(b*x + 4
*a)^2*tan(1/2*a)^32 + 854992222856*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^33 - 94087910880*tan(1/2*a)^34 + 3262626662400*ta
n(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^28 - 9004992609600*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^29 + 8563235603472*tan(b*x + 4*a)^2*t
an(1/2*a)^30 - 3316579144464*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^31 + 440072542737*tan(1/2*a)^32 - 5349143040000*tan(b*x
+ 4*a)^4*tan(1/2*a)^26 + 17420327827008*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^27 - 19596982709664*tan(b*x + 4*a)^2*tan(
1/2*a)^28 + 9014744094960*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^29 - 1427870886848*tan(1/2*a)^30 + 6307092928000*tan(b*x +
4*a)^4*tan(1/2*a)^24 - 24202990429056*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^25 + 32094110324592*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/
2*a)^26 - 17430945047632*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^27 + 3269665274136*tan(1/2*a)^28 - 5349143040000*tan(b*x +
4*a)^4*tan(1/2*a)^22 + 24202990429056*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^23 - 37811152430400*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2
*a)^24 + 24188717892528*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^25 - 5348679038784*tan(1/2*a)^26 + 3262626662400*tan(b*x + 4
*a)^4*tan(1/2*a)^20 - 17420327827008*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^21 + 32094110324592*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*
a)^22 - 24188717892528*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^23 + 6296990528100*tan(1/2*a)^24 - 1426650624000*tan(b*x + 4*
a)^4*tan(1/2*a)^18 + 9004992609600*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^19 - 19596982709664*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)
^20 + 17430945047632*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^21 - 5348679038784*tan(1/2*a)^22 + 442437811200*tan(b*x + 4*a)^
4*tan(1/2*a)^16 - 3319597849344*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^17 + 8563235603472*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^18
- 9014744094960*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^19 + 3269665274136*tan(1/2*a)^20 - 94929408000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(
1/2*a)^14 + 858638750464*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^15 - 2647648010880*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^16 + 33165
79144464*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^17 - 1427870886848*tan(1/2*a)^18 + 13399603200*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^
12 - 150936080928*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^13 + 567089250120*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^14 - 854992222856*
tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^15 + 440072542737*tan(1/2*a)^16 - 1119744000*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^10 + 169820
62752*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^11 - 81088683024*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^12 + 150754238328*tan(b*x + 4*a
)*tan(1/2*a)^13 - 94087910880*tan(1/2*a)^14 + 41990400*tan(b*x + 4*a)^4*tan(1/2*a)^8 - 1086111040*tan(b*x + 4*
a)^3*tan(1/2*a)^9 + 7267900536*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^10 - 17523815592*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^11 + 136
39996380*tan(1/2*a)^12 + 29618496*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^7 - 365239008*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^8 + 12
71292760*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^9 - 1302867360*tan(1/2*a)^10 - 50976*tan(b*x + 4*a)^3*tan(1/2*a)^5 + 812892
0*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^6 - 52636536*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^7 + 78743742*tan(1/2*a)^8 - 864*tan(b*x +
4*a)^3*tan(1/2*a)^3 - 18000*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^4 + 1000584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - 2775328*tan
(1/2*a)^6 - 216*tan(b*x + 4*a)^2*tan(1/2*a)^2 - 2584*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3 + 46860*tan(1/2*a)^4 - 24*tan
(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) - 96*tan(1/2*a)^2 - 1)/((81*tan(1/2*a)^20 - 1080*tan(1/2*a)^18 + 5724*tan(1/2*a)^16 - 1
5240*tan(1/2*a)^14 + 21286*tan(1/2*a)^12 - 15240*tan(1/2*a)^10 + 5724*tan(1/2*a)^8 - 1080*tan(1/2*a)^6 + 81*ta
n(1/2*a)^4)*(6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - tan(1/2*a)^6 - 20*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3 + 15*tan(1/2*a)^4 +
6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*a)^2 + 1)^4) - 192*log(abs(tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^6 - 15*tan(b*x
+ 4*a)*tan(1/2*a)^4 + 6*tan(1/2*a)^5 + 15*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^2 - 20*tan(1/2*a)^3 - tan(b*x + 4*a) + 6*t
an(1/2*a))) + 192*log(abs(6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^5 - tan(1/2*a)^6 - 20*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a)^3 + 15*t
an(1/2*a)^4 + 6*tan(b*x + 4*a)*tan(1/2*a) - 15*tan(1/2*a)^2 + 1)))/b

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.92, size = 69, normalized size = 1.15 \[ \frac {1}{128 b \sin \left (b x +a \right )^{2} \cos \left (b x +a \right )^{4}}+\frac {3}{128 b \sin \left (b x +a \right )^{2} \cos \left (b x +a \right )^{2}}-\frac {3}{64 b \sin \left (b x +a \right )^{2}}+\frac {3 \ln \left (\tan \left (b x +a \right )\right )}{32 b} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csc(2*b*x+2*a)^5*sin(b*x+a)^2,x)

[Out]

1/128/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)^4+3/128/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)^2-3/64/b/sin(b*x+a)^2+3/32*ln(tan(b*x+a))/b

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.44, size = 3164, normalized size = 52.73 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)^5*sin(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/64*(4*(3*cos(10*b*x + 10*a) + 6*cos(8*b*x + 8*a) - 2*cos(6*b*x + 6*a) + 6*cos(4*b*x + 4*a) + 3*cos(2*b*x + 2
*a))*cos(12*b*x + 12*a) + 4*(9*cos(8*b*x + 8*a) - 16*cos(6*b*x + 6*a) + 9*cos(4*b*x + 4*a) + 12*cos(2*b*x + 2*
a) + 3)*cos(10*b*x + 10*a) + 24*cos(10*b*x + 10*a)^2 - 4*(22*cos(6*b*x + 6*a) + 12*cos(4*b*x + 4*a) - 9*cos(2*
b*x + 2*a) - 6)*cos(8*b*x + 8*a) - 24*cos(8*b*x + 8*a)^2 - 8*(11*cos(4*b*x + 4*a) + 8*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*co
s(6*b*x + 6*a) + 32*cos(6*b*x + 6*a)^2 + 12*(3*cos(2*b*x + 2*a) + 2)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*cos(4*b*x + 4*a)^2
+ 24*cos(2*b*x + 2*a)^2 - 3*(2*(2*cos(10*b*x + 10*a) - cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a
) + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a) + cos(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) + 4*cos(6*b*x + 6*
a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a) + 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x +
6*a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(8*b*x + 8*a) + cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a)
- 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) + 16*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4
*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x + 10*a) - sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6
*a) - sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) + sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) +
4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) + 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(
4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b
*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + 16*sin(6*b*x + 6*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x +
4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(2*b*x)^2 + 2*cos(2*b*x)*cos(2*a
) + cos(2*a)^2 + sin(2*b*x)^2 - 2*sin(2*b*x)*sin(2*a) + sin(2*a)^2) + 3*(2*(2*cos(10*b*x + 10*a) - cos(8*b*x +
8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(12*b*x + 12*a) + cos(12*b*x + 12*a
)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) + 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a)
+ 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(8*b*x + 8*a
) + cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) + 16*cos(6*b*x + 6*a)^
2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x
+ 10*a) - sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) +
sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) + 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(1
0*b*x + 10*a) + 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*
b*x + 8*a) + sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + 16*sin(6*b*x +
6*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a)
+ 1)*log(cos(b*x)^2 + 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 - 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2) + 3*(2*(2*cos(
10*b*x + 10*a) - cos(8*b*x + 8*a) - 4*cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(12*b*x
+ 12*a) + cos(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(cos(8*b*x + 8*a) + 4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x +
2*a) - 1)*cos(10*b*x + 10*a) + 4*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*cos(6*b*x + 6*a) + cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x
+ 2*a) - 1)*cos(8*b*x + 8*a) + cos(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(cos(4*b*x + 4*a) - 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x +
6*a) + 16*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 2*(2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(4*b*x + 4*a) + cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*cos(2*b*x
+ 2*a)^2 + 2*(2*sin(10*b*x + 10*a) - sin(8*b*x + 8*a) - 4*sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) + 2*sin(2*b*x +
2*a))*sin(12*b*x + 12*a) + sin(12*b*x + 12*a)^2 - 4*(sin(8*b*x + 8*a) + 4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a)
- 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) + 4*sin(10*b*x + 10*a)^2 + 2*(4*sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a)
- 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + sin(8*b*x + 8*a)^2 + 8*(sin(4*b*x + 4*a) - 2*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*
b*x + 6*a) + 16*sin(6*b*x + 6*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 4*sin(2*b*x +
2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x)^2 - 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 + 2*sin(b*x)*sin(a
) + sin(a)^2) + 4*(3*sin(10*b*x + 10*a) + 6*sin(8*b*x + 8*a) - 2*sin(6*b*x + 6*a) + 6*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin
(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) + 4*(9*sin(8*b*x + 8*a) - 16*sin(6*b*x + 6*a) + 9*sin(4*b*x + 4*a) + 12*sin(
2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) + 24*sin(10*b*x + 10*a)^2 - 4*(22*sin(6*b*x + 6*a) + 12*sin(4*b*x + 4*a) - 9*
sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - 24*sin(8*b*x + 8*a)^2 - 8*(11*sin(4*b*x + 4*a) + 8*sin(2*b*x + 2*a))*sin(
6*b*x + 6*a) + 32*sin(6*b*x + 6*a)^2 - 24*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 36*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 24*sin(2
*b*x + 2*a)^2 + 12*cos(2*b*x + 2*a))/(b*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 4*b*cos(10*b*x + 10*a)^2 + b*cos(8*b*x + 8*a)^2
+ 16*b*cos(6*b*x + 6*a)^2 + b*cos(4*b*x + 4*a)^2 + 4*b*cos(2*b*x + 2*a)^2 + b*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 4*b*sin(
10*b*x + 10*a)^2 + b*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 16*b*sin(6*b*x + 6*a)^2 + b*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 4*b*sin(4*b*x + 4*a
)*sin(2*b*x + 2*a) + 4*b*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(2*b*cos(10*b*x + 10*a) - b*cos(8*b*x + 8*a) - 4*b*cos(6*b*x +
6*a) - b*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(12*b*x + 12*a) - 4*(b*cos(8*b*x + 8*a) + 4*b*cos(6*
b*x + 6*a) + b*cos(4*b*x + 4*a) - 2*b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(10*b*x + 10*a) + 2*(4*b*cos(6*b*x + 6*a) + b*c
os(4*b*x + 4*a) - 2*b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(8*b*x + 8*a) + 8*(b*cos(4*b*x + 4*a) - 2*b*cos(2*b*x + 2*a) -
b)*cos(6*b*x + 6*a) - 2*(2*b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(4*b*x + 4*a) + 4*b*cos(2*b*x + 2*a) + 2*(2*b*sin(10*b*x
+ 10*a) - b*sin(8*b*x + 8*a) - 4*b*sin(6*b*x + 6*a) - b*sin(4*b*x + 4*a) + 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x +
12*a) - 4*(b*sin(8*b*x + 8*a) + 4*b*sin(6*b*x + 6*a) + b*sin(4*b*x + 4*a) - 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x
+ 10*a) + 2*(4*b*sin(6*b*x + 6*a) + b*sin(4*b*x + 4*a) - 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) + 8*(b*sin(4*b
*x + 4*a) - 2*b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + b)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 0.16, size = 74, normalized size = 1.23 \[ \frac {3\,\ln \left ({\sin \left (a+b\,x\right )}^2\right )}{64\,b}-\frac {3\,\ln \left (\cos \left (a+b\,x\right )\right )}{32\,b}+\frac {-\frac {3\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^4}{64}+\frac {3\,{\cos \left (a+b\,x\right )}^2}{128}+\frac {1}{128}}{b\,\left ({\cos \left (a+b\,x\right )}^4-{\cos \left (a+b\,x\right )}^6\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sin(a + b*x)^2/sin(2*a + 2*b*x)^5,x)

[Out]

(3*log(sin(a + b*x)^2))/(64*b) - (3*log(cos(a + b*x)))/(32*b) + ((3*cos(a + b*x)^2)/128 - (3*cos(a + b*x)^4)/6
4 + 1/128)/(b*(cos(a + b*x)^4 - cos(a + b*x)^6))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csc(2*b*x+2*a)**5*sin(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________